设$q$是有理数，并设$f:(0,+\infty)\to \mathbf{R}$是函数$f(x):=x^q$.

a):证明$f$在$(0,+\infty)$上可微，并且$f'(x)=qx^{q-1}$.

证明:设$q=\frac{a}{b}$.其中$a$为整数，$b$为正整数.则$f(x)=x^{\frac{a}{b}}=(x^{\frac{1}{b}})^a$.根据，$x^{\frac{1}{b}}$可微，因此$f(x)$可微(为什么?提示：利用导数的运算法则，结合数学归纳法).$f'(x)=a[x^{\frac{1}{b}}]^{a-1}(x^{\frac{1}{b}})'=a[x^{\frac{1}{b}}]^{a-1}\frac{1}{b}x^{\frac{1}{b}-1}=\frac{a}{b}x^{\frac{a}{b}-1}$.得证.

 

b)证明对于每个有理数$q$,

\begin{equation}

\label{eq:10.10.39}

\lim_{x\to 1;x\in (0,+\infty)}\frac{x^q-1}{x-1}=q

\end{equation}

证明:\ref{eq:10.10.39}式即为$x^q|_{x=1}$,由(a),$x^q|_{x=a}=qa^{q-1}$.因此$x^q|_{x=1}=q$.